Funzioni inverse.

Come possiamo stabilire, se per una funzione f, esiste la corrispondente inversa?

Prendiamo ad esempio la seguente funzione :

   

Proiettiamo nel codominio Y, alcuni valori del dominio X, ed osserviamone l’andamento. Per comodità ho prodotto il grafici usando la seguente calcolatrice https://www.geogebra.org/graphing?lang=it

Possiamo certamente dire di questa funzione, alcune cose :

• La funzione è iniettiva, perchè ad ogni valore X corrisponde sempre un solo valore Y.
• La funzione è suriettiva, perchè ad ogni valore di Y corrisponde almeno un valore di X.
• La funzione è biunivoca, essendo iniettiva e suriettiva.

Per ogni funzione biunivoca, sappiamo che esiste sempre una corrispondente funzione inversa.

DOMANDA: Come ricavare la funzione inversa ?

E’ facilmente ricavabile, isolando l’incognita x :

   

Così è come appare la funzione e la sua corrispondente inversa nel piano cartesiano

Si tratta della funzione di una retta, così come è sempre una retta relativa funzione inversa. Il punto di intersezione tra le due, è determinato dal termine noto. (3)

Prendiamo in considerazione un’altra funzione, per certi aspetti molto simile alla prima, ma questa volta, di secondo grado, :

   

La relativa funzione inversa è :

   

Si tratta, come detto, di equazione di secondo grado ad una incognita, che sul piano cartesiano appare chiaramente, come una parabola.

In questo caso, le 2 funzioni tracciano nel piano figure coincidenti, ossia la medesima parabola. Essendo la funzione inversa un’equazione di secondo grado, prevederà 2 soluzioni di x, per ogni y, e due linee curve simmetriche all’asse di riferimento, che nel punto di intersezione (che coincide al termine noto) si uniscono.